Baris dan Deret Bilangan

Kompetensi

STANDAR KOMPETENSI:

Menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah

KOMPETENSI STANDAR :

Menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah

INDIKATOR:

1. Menemukan pola bilangan
2. Membedakan antara barisan dan deret bilangan
3. Menemukan ciri suatu barisan atau suatu deret
4. Menentukan rumus suku ke-n barisan dan deret aritmetika
5. Menemukan rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika
6. Menentukan rumus suku ke-n barisan dan deret geometri
7. Menemukan rumus jumlah n suku pertama deret geometri

Materi

Pola dan Barisan Bilangan

Pola Bilangan

Jika anggota-anggota suatu himpunan diurutkan menurut suatu aturan tertentu maka akan membentuk suatu barisan bilangan. Perhatikan barisan bilangan berikut ini:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…

Urutan bilangan-bilangan tersebut adalah sebagai berikut:

urutan ke-1 adalah 1
urutan ke-2 adalah 2
urutan ke-3 adalah 3
urutan ke-4 adalah 5
urutan ke-5 adalah 13
urutan ke-6 adalah 21
urutan ke-7 adalah 34

Ternyata nomor urut bilangan-bilangan tersebut merupakan bilangan asli. Oleh karena itu barisan dapat didefinisikan sebagai fungsi dari bilangan asli atau fungsi yang domainnya adalah bilangan asli.

Anggota-anggota barisan bilangan disebut suku dan dinotasikan dengan U. Keterkaitan bilangan asli dengan anggota-anggota suatu barisan dapat digambarkan sebagai berikut :

Un = f(n) artinya bahwa suku-suku barisan bilangan merupakan fungsi dari bilangan asli.
Dengan demikian barisan bilangan dapat dinyatakan dengan : U₁, U₂, U₃, U₄, ..., U_n.

Barisan Bilangan

Diketahui suatu barisan bilangan : 1, 4, 9, 16, . Bagaimana pola barisan bilangan tersebut?

Nampak bahwa :

suku ke-1 = U₁ = 1
suku ke-2 = U₂ = 4
suku ke-3 = U₃ = 9
suku ke-4 = U₄ = 16

Jika digambarkan dengan diagram panah, maka diperoleh pola sebagai berikut :

Hubungan setiap anggota himpunan A ke anggota himpunan B dapat dideskripsikan sebagai kuadrat dari

Sehingga dapat dikatakan bahwa barisan tersebut mempunyai suku ke-n

Diketahui suatu barisan bilangan : 2, 5, 8, 11,. Bagaimana pola barisan bilangan tersebut?

Jika anggota-anggota barisan bilangan tersebut dihubungkan dengan anggota domainnya (bilangan asli), maka :

Contoh
Tentukan tiga suku berikutnya pada barisan-barisan bilangan berikut :

1. 1, 2, 3, 6, 12,.
2. 3, 4, 6, 9, .
3. 3, 5, 7, 9, .
4. 1, 2, 4, 8,.

Jawaban :

Contoh
Tentukan rumus suku ke-n barisan-barisan bilangan berikut :

1. 3, 6, 9, 12, .
2. 8, 6, 4, 2, .
3. 0, 1, 4, 9, 16, .
4. 2, 6, 12, 20,.

Jawaban :

Deret

Deret Bilangan

Jika suku-suku pada suatu barisan dijumlahkan, maka akan diperoleh U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + ... Penjumlahan suku-suku tersebut dinamakan deret bilangan dan dinotasikan dengan Sn.
Jadi Sn = U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + ...+ U_n

Contoh
Diantara pernyataan berikut, manakah yang disebut barisan, deret, atau bukan kedua-duanya :

9. 2 + 5 + 8 + 11 + ...

10. 3 , 7 , 8, 11, ..

11. 1 , 2, 4, 8, ..

12. 3 + 5 + 8 + 2 + ..

Aritmatika

Barisan

Jika selisih suku ke-(n+1) dengan suku ke-n bernilai tetap, maka barisan bilangan tersebut dinamakan barisan aritmetika. Sebuah barisan bilangan mempunyai suku pertama a dan selisih yang tetap sebesar b, maka diperoleh barisan aritmetika berikut :

dengan demikian, suku ke-n barisan aritmetika dapat dinyatakan sebagai fungsi linear :

Contoh
Manakah diantara barisan bilangan berikut yang merupakan barisan aritmetika :
1. 3 , 5 , 7 , 9 , ...

2. 7 , 9 , 12 , 16 , ...

3. 12 , 9 , 6 , 3 , ...

Contoh
Tentukan tiga suku berikutnya pada barisan aritmetika :
4. 2 , 6 , 10 , 14 , ...

5. 10 , 8 , 6 , 4 , ...

6. 4 , 8 , 12 , 16 , ...

Contoh
Tentukan suku ke-n barisan aritmetika berikut : . . .
7. 2 , 6 , 10 , 14 ,...
8. 10 , 8 , 6 , 4 , ...
9. 4 , 8 , 12 , 16 , ...

Contoh
Tentukan suku yang yang dikehendaki pada barisan aritmetika berikut :
10. 5 , 7 , 9 , 11 , .. Suku ke-6

11. 6 , 10 , 14 , 18 , .. Suku ke-10

12. 10 , 8 , 6 , 4 , .. Suku ke-12

Contoh
13. Suku ke berapakah yang bernilai nol pada barisan bilangan 60 , 57 , 54 , .. ?

14. Jika suku ke-n sebuah barisan aritmetika ditentukan oleh Un = 4n - 8, tentukan suku pertama dan beda barisan tersebut !

Deret

Jika suku-suku pada barisan aritmetika dijumlahkan, maka diperoleh :

( a )+ (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + …. + (a + (n-1)b) = S_n
U1 + U2 + U3 + U4 + …. + Un = S_n

Carl Friedrick Gauss mengenalkan cara menentukan rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika :

S_n = ( a ) + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + …. + (a + [n - 1]b)

S_n = (a+[n - 1]b) + (a+[n - 2]b) + (a+[n - 3]b) + (a+[n - 4]b) + …. + ( a )

-------------------------------------------------------------------------------------------------------- +

2 S_n = (2a+[n-1]b) + (a+[n-1]b) + (a+[n-1]b) + (a+[n-1]b) + …+ (a+[n-1]b) 2 Sn = n.[ (2a+[n-1]b)]

Sehingga jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah fungsi kuadrat :

Contoh
Tentukan jumlah n suku pertama deret aritmetika berikut :
1. 2 + 6 + 10 + ...
2. 9 + 15 + 21 + ...
3. 12 + 8 + 4 + ...

Jawaban

Contoh
Tentukan jumlah hingga suku pertama tertentu dari deret aritmetika berikut :
4. 2 + 6 + 10
5. 9 + 15 + 21 + …. hingga suku ke-10
6. 12 + 8 + 4 + …. hingga suku ke-100

Jawaban

Contoh
7. Jika suku ke-n deret aritmetika ditentukan oleh Un = 4n + 6, tentukan rumus jumlah n suku pertama deret tersebut.

Geometri

Barisan

Jika rasio (perbandingan) suku ke-(n+1) dengan suku ke-n bernilai tetap, maka barisan bilangan tersebut dinamakan barisan geometri.

Sebuah barisan bilangan mempunyai suku pertama a dan rasio yang tetap sebesar r, maka diperoleh barisan geometri berikut :

a, ar , ar² , ar³ , .. ar^(n-1)
U₁ , U₂ , U₃ , U₄ , .. U_n

dengan demikian, suku ke-n barisan geometri dapat dinyatakan sebagai fungsi eksponen :

Contoh
Manakah diantara barisan bilangan berikut yang merupakan barisan geometri :
1. 3 , 6 , 12 , 24 , ... karena rasio antar sukunya tetap, sebesar 2, maka disebut barisan geometri

2. 1 , 4 , 9 , 16 , ... karena tidak ada rasio yang tetap antar sukunya, maka bukan barisan geometri

3. 27 , 9 , 3 , 1 ...

Contoh
Tentukan tiga suku berikutnya dari barisan geometri berikut :
4. 2 , 6 , 18 , . Karena rasio (r) = 3, maka tiga suku berikutnya adalah : 54, 162 , 486

5. 4 , 8 , 16 , . Karena rasio (r) = 2, maka tiga suku berikutnya adalah : 32, 64 , 128

6. 27 , 9 , 3 , .

Contoh
Tentukan rumus suku ke-n barisan geometri berikut :
7. 2 , 6 , 18 , .

8. 4 , 8 , 16 , .

9. 27 , 9 , 3 , .

Contoh
Tentukan suku yang dikendaki pada barisan geometri berikut :
10. 3 , 9 , 27 , .. Suku ke-5

11. 4 , 8 , 16 , .. Suku ke-7

12. 125 , 25 , 5 , .. Suku ke 11

Contoh
13. Tentukan suku pertama dan rasio barisan geometri dengan rumus suku ke-n U_n = 3.2ⁿ

Contoh
14. Berapa banyak suku pada barisan geometri 4 , 8 , 16 , .. , 1024

Deret

Deret

Jika suku-suku pada barisan geometri dijumlahkan, maka diperoleh :

( a ) + ( ar ) + ( ar² ) + ( ar³ ) + .. + (ar^n-1) = S_n
U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + .. + U_n = S_n

Rumus jumlah n suku pertama deret geometri diperoleh dengan cara berikut :

S_n = ( a ) + ( ar ) + ( ar² ) + ( ar³ ) + .. + (ar^n-1) kalikan kedua ruas dengan r, maka :

r.S_n = ( ar ) + ( ar² ) + ( ar³ ) + .. + (ar^n-1) + (arⁿ)

------------------------------------------------------------------------------

S_n - r.S_n = a + 0 + 0 + 0 + .. + 0 - (arⁿ)

(1 - r)S_n = a - arⁿ = a(1 - rⁿ)

Jumlah n suku pertama deret geometri dapat dinyatakan dalam fungsi eksponen :

Contoh
Tentukan jumlah n suku pertama deret geometri berikut :
1. 2 + 6 + 18 + .

2. 4 + 8 + 16 + .

3. 18 + 6 + 2 + .

Contoh
Tentukan jumlah hingga suku pertama tertentu dari deret geometri berikut :

4. 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486

5. 4 + 8 + 16 + .. hingga suku ke-10

6. 18 + 6 + 2

Contoh

7. Tentukan banyaknya suku deret geometri berikut : 6 + 12 + 24 + .. = 12282

Deret Tak Hingga

Deret Tak Hingga

Jika nilai mutlak rasio deret geometri a + ar + ar² + ar³ + .. lebih dari satu, yaitu |r| > 1, maka semakin tinggi indeksnya (n) akan semakin membesar nilai suku tersebut. Dapat dikatakan bahwa jika n mendekati bilangan tak hingga, maka suku ke-n pun akan mendekati bilangan tak hingga. Jika suku-sukunya mendekati bilangan tak hingga, maka jumlah suku-sukunya pun akan mendekati bilangan tak hingga. Pernyataan tersebut dapat ditulis dalam notasi matematika berikut :

Dengan demikian, untuk n 8, maka jumlah deret geometri tersebut tidak dapat ditentukan. Deret geometri tak hingga dengan |r| > 1 tersebut dinamakan deret geometri divergen.

Jika deret geometri a + ar + ar² + ar³ + .. mempunyai rasio 0 < |r| < 1, maka semakin tinggi indeksnya (n) akan semakin kecil (mendekati nol) nilai sukunya. Jika suku ke-tak hingga mendekati nol, maka jumlah suku-sukunya akan mendekati bilangan tertentu. Pernyataan tersebut dapat ditulis dalam notasi matematika berikut :

Sehingga untuk n 8, maka jumlah deret geometri tersebut berupa bilangan tertentu. Deret geometri tak hingga dengan 0 < |r| < 1 tersebut dinamakan deret geometri konvergen.

Contoh
Diantara deret geometri berikut, mana yang dapat (konvergen) dan mana yang tidak dapat (divergen) ditentukan jumlahnya :
1. 2 + 4 + 8 + ...

2. 16 + 8 + 4 + ...

3. 5 + 25 + 125 + ....

Contoh
4. Tentukan jumlah sampai suku tak hingga deret geometri 64 + 32 + 16 + 8 + ..

Contoh
5. Diketahui deret geometri 1 + (x - 2) + (x - 2)² +(x - 2)³ + ..
Tentukan batas-batas nilai x agar deret tersebut konvergen.

Latihan

Test