Kompetensi
Indikator
1. Menyajikan data dalam bentuk tabel distribusi kumulatif dan ogive
2. Menentukan ukuran letak pemusatan data: median
3. Menentukan ukuran letak data: kuartil
Materi
Tabel Frekuensi Kumulatif
Sejumlah data yang didapat dari objek penelitian hanyalah berupa sederetan angka-angka dan atribut-atribut. Angka-angka dan atribut-atribut ini akan lebih berarti bila disusun ke dalam tabel frekuensi.
Tabel frekuensi adalah suatu cara memaparkan sekelompok data dimana tercantum seberapa sering suatu atau sejumlah nilai variabel data muncul. Bila pada salah satu kolom tabel memuat frekuensi kumulatif maka disebut tabel frekuensi kumulatif.
Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam menyusun tabel frekuensi, antara lain:
1. Jumlah kelas interval antara 5 dan 20
2. Jumlah data yang besar memerlukan lebih banyak kelas interval
3. Jumlah data yang lebih sedikit memerlukan lebih sedikit kelas interval
Lebar interval kelas dapat ditentukan sebagai berikut:
Lebar kelas = (Nilai terbesar - Nilai terkecil) / Jumlah kelas
Jumlah data pada Data 1 adalah 41, nilai terendah adalah 2 dan nilai tertinggi adalah 49, bila akan dibentuk sepuluh kelas maka:
Lebar kelas = (49 - 2) / 10 = 4,7 atau sekitar 5
Dari Data 1 dapat kita buat tabel frekuensi sebagai berikut:
Dapat juga kita bentuk tabel frekuensi relatif sebagai berikut:
Frekuensi relatif adalah kekerapan suatu atau sejumlah nilai variabel data muncul dibagi jumlah data keseluruhan. Pada Tabel 1 kelas interval (11-15) memiliki frekuensi 4, sedangkan jumlah seluruh data adalah 41, maka frekuensi relatifnya adalah 4/41 = 0,097561
Dan tabel prosen frekuensi dari Data 1 adalah sebagai berikut:
Prosen frekuensi adalah kekerapan suatu atau sejumlah variabel data muncul dibagi jumlah data keseluruhan dikali 100. Pada Tabel 1 kelas interval (11-15) memiliki frekuensi 4, sedangkan jumlah seluruh data adalah 41 maka frekuensi relatifnya adalah (4/41) * 100 = 9,7561
Selanjutnya dari tabel distribusi dapat dibentuk tabel frekuensi kumulatif.
Sesuai dengan jenis tabel distribusi maka terdapat beberapa jenis tabel frekuensi kumulatif, antara lain:
1. Tabel frekuensi kumulatif ialah tabel frekuensi yang salah satu kolomnya memuat frekuensi kumulatif.
2. Tabel frekuensi relatif kumulatif ialah tabel frekuensi yang salah satu kolomnya memuat frekuensi kumulatif dari frekuensi relatif
3. Tabel prosen frekuensi kumulatif ialah tabel frekuensi yang salah satu kolomnya memuat frekuensi kumulatif dari prosen frekuensi
Frekuensi kumulatif adalah jumlah frekuensi kelas tersebut dan kelas-kelas sebelumnya. Pada Tabel 1 kelas interval (11-15) memiliki frekuensi 4, sedangkan kelas-kelas sebelumnya masing-masing (6-10) memiliki frekuensi 3, (1-5) memiliki frekuensi 4, maka frekuensi kumulatifnya adalah (4+3+4) = 11
Dari tabel frekuensi yang telah diperoleh sebelumnya dapat dibuat tabel distribusi frekuensi kumulatif sebagai berikut:
Tabel frekuensi relatif kumulatif dari Data 1 adalah sebagai berikut:
Tabel prosen frekuensi kumulatif dari Data 1 adalah sebagai berikut:
Ogive
Kita telah mempelajari cara-cara membuat tabel frekuensi kumulatif. Selanjutnya kita akan mempelajari cara-cara menggambar Ogive.
Ogive adalah grafik dari frekuensi kumulatif. Nilai-nilai data dituliskan pada sumbu mendatar yang diwakili oleh tepi kelas. Nanti akan kita pelajari cara-cara menentukan tepi kelas untuk setiap kelas interval. Sedangkan untuk sumbu tegak lurus dituliskan nilai-nilai data:
1. Frekuensi kumulatif
2. Kumulatif frekuensi relatif
3. Prosen frekuensi kumulatif
Salah satu nilai frekuensi di atas di plot sebagai satu titik grafik yang selanjutnya titik-titik tersebut dihubungkan dengan garis lurus.
Untuk menggambar Ogive, terlebih dahulu perlu ditentukan batas kelas. Untuk itu mari kita gunakan kembali Data 1 yang telah kita gunakan sebelumnya.
Data 1: Hasil suatu penelitian
Sebelumnya kita sudah membentuk interval kelas sebagai berikut:
Tepi kelas berada ditengah-tengah diantara celah pada batas interval:
Maka tepi kelasnya adalah:
{ (0+1)/2, (5+6)/2, (10+11)/2, (15+16)/2, (20+21)/2, (25+26)/2, (30+31)/2, (35+36)/2, (40+41)/2, (45+46)/2, (50+51)/2 }
atau
{ 0.5, 5.5, 10.5, 15.5, 20.5, 25.5, 30.5, 35.5, 40.5, 45.5, 50.5 }
Selanjutnya sesuai dengan tabel frekuensi kumulatif kita dapat menggambarkan ogive untuk Data 1 sebagai berikut:
Selanjutnya sesuai dengan tabel frekuensi relatif kumulatif kita dapat menggambarkan ogive untuk Data 1 sebagai berikut:
Selanjutnya sesuai dengan tabel prosen frekuensi kumulatif kita dapat menggambarkan ogive untuk Data 1 sebagai berikut:
Kegunaan Ogive ini yang utama adalah untuk memperkirakan median, kuartil bawah dan kuartil atas. Median, kuartil bawah dan kuartil atas akan kita bahas pada bagian selanjutnya.
Median adalah data yang berada ditengah-tengah dari sekumpulan data bila data tersebut diurutkan dari kecil ke besar. Misalkan : 2, 3, 3, 4, 5, 8, 9 maka mediannya adalah 4.
Kuartil bawah adalah kuartil pertama dimana 1/4 data berada di sebelah kirinya dan 3/4 data berada di sebelah kanannya. Misalkan : 6, 7, 15, 36, 39, 41, 41, 43, 43, 47, 49 maka kuartil bawahnya adalah 15.
Kuartil atas adalah kuartil ketiga dimana 3/4 data berada di sebelah kirinya dan 1/4 data berada di sebelah kanannya. Misalkan : 6, 7, 15, 36, 39, 41, 41, 43, 43, 47, 49 maka kuartil bawahnya adalah 43.
Median
Median adalah nilai data yang berada di tengah dari sederetan nilai-nilai yang telah diurutkan. Misalkan terdapat satu set data sebagai berikut: {5,3,7,9,7,3,4} maka setelah diurutkan kita peroleh: {3,3,4,5,7,7,9} maka mediannya adalah 5.
Bila jumlah datanya genap maka mediannya adalah jumlah dua data yang tengah dibagi 2, misalkan datanya adalah: {6,3,2,7,9,8} maka setelah diurutkan kita peroleh: {2,3,6,7,8,9} dan mediannya adalah (6+7) / 2 = 6,5
Secara umum median dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Urutkan data dari yang kecil ke besar
2. Tentukan data pada posisi (n+1)/2, bila n bilangan bulat maka mediannya adalah nilai data pada posisi itu, sedangkan bila n tidak merupakan bilangan bulat maka mediannya adalah jumlah dua bilagnan terdekat dari posisi median itu dibagi dua. Misalnya pada {3,3,4,5,7,7,9}, n=7 maka mediannya pada posisi (7+1)/2 = 4 maka data ke-4 yakni 5, sedangkan pada {2,3,6,7,8,9), n=6, maka mediannya pada posisi (6+1)/2=3,5 , jadi mediannya adalah jumlah data ke-3 dan data ke-4 per dua atau (6+7)/2=6,5.
Bila data yang diolah dalam jumlah besar maka median dapat diestimasi dengan Ogive, yakni dengan menarik garis dari tengah sumbu vertikal dan menentukan padanannya pada sumbu horizontal, seperti pada animasi berikut:
Kuartil
Kuartil membagi data ke dalam 4 bagian yang sama. Q1 berada pada data 25% yang pertama, Q2 berada di tengah atau sama dengan median dan Q3 berada pada urutan 75% yang pertama.
Secara umum untuk menentukan kuartil ke k dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Urutkan data
2. Tentukan k/4 dari besar sampel n
3. Jika k/4 bilangan bulat tambahkan 0,5 , jika tidak maka bulatkan ke atas
4. Carilah bilangan pada posisi ini, bila bilangan ini diakhiri dengan 0,5 maka tentukan bilangan itu dari jumlah kedua bilangan yang mengapitnya per dua.
Misalkan:
3 3 5 6 7 7 7 10 10 11 11 13 14 15 15
Dari data di atas diketahui n = 15, maka Q1 berada pada (1/4)n = 3,75 dibulatkan ke atas menjadi 4 maka Q1 = 6, dan Q2 berada pada (2/4)n = 7,5 dibulatkan menjadi 8, maka Q2 = 10, dan seterusnya.
Q1 biasa disebut kuartil bawah dan Q3 biasa disebut kuartil atas. Selisih antara Q1 dan Q3 disebut jangkauan interkuartil.
Bila data yang diolah dalam jumlah besar maka Q1 dapat diestimasi dengan Ogive yakni dengan menarik garis dari 25% sumbu vertikal dan menentukan padanannya pada sumbu horizontal. Untuk Q2 dapat ditentukan seperti dalam menentukan Median dan Q3 diperoleh dengan menarik garis 75% dari pada sumbu vertikal dan menentukan padanannya pada sumbu mendatar, seperti pada animasi berikut:
Simulasi
Simulasi 1
Simulasi 2