Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat

Kompetensi

Standar Kompetensi:
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK)

Kompetensi Dasar:
Siswa dapat menentukan himpunan penyelesaian SPLK

Indikator:

1. Siswa dapat menentukan himpunan penyelesaian SPLK eksplisit.
2. Siswa dapat menentukan himpunan penyelesaian SPLK implisit yang tidak dapat difaktorkan.
3. Siswa dapat menentukan himpunan penyelesaian SPLK implisit yang dapat difaktorkan

Materi

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Eksplisit

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK) disusun oleh sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat yang memiliki dua variabel. SPLK terdiri dari 2 jenis., yaitu: (1) SPLK Eksplisit dan (2) SPLK Impilsit.

SPLK Eksplisit
Bentuk umum SPLK eksplisit ditulis sebagai berikut:

dengan a, b, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan real.

Langkah-langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLK Eksplisit adalah sebagai berikut:

1. Substitusikan persamaan linear y = ax + b ke persamaan kuadrat y = px² + qx + r, diperoleh
   ax + b = px² + qx + r
   px² + (q - a)x + (r - b) = 0, dengan menggunakan pemfaktoran atau rumus ABC diperoleh nilai-nilai x (jika ada).
2. Nilai-nilai x yang didapat dari langkah (1) disubtitusikan ke persamaan y = ax + b sehingga diperoleh nilai y. Pasangan nilai (x, y) merupakan himpunan penyelesaian SPLK.

Banyak anggota himpunan penyelesaian pada persamaan kuadrat px² + (q - a)x + (r - b) = 0 dapat ditentukan dengan menggunakan diskriminan yang dinotasikan dengan D, dimana D = b² - 4ac.
Diskriminan dari px² + (q - a)x + (r - b) = 0 adalah D = (q - a)² - 4p(r - b).
Jika D > 0 maka SPLK mempunyai dua anggota himpunan penyelesaian.
Jika D = 0 maka SPLK mempunyai satu anggota himpunan penyelesaian.
Jika D < 0 maka SPLK tidak mempunyai anggota himpunan penyelesaian.

Pasangan nilai (x, y) yang merupakan himpunan penyelesaian SPLK dapat ditafsirkan secara Geometri sebagai koordinat titik potong antara garis y = ax + b dengan parabola y = px² + qx + r. Kedudukan garis terhadap parabola dapat ditentukan dengan nilai diskriminan D = (q- a)² - 4p(r - b).
Jika D > 0 maka garis memotong parabola di dua titik yang berlainan.
Jika D = 0 maka garis memotong parabola tepat di satu titik atau dikatakan garis menyinggung parabola
Jika D < 0 maka garis tidak memotong maupun menyinggung parabola.
Kedudukan garis terhadap parabola dapat digambarkan sebagai berikut.

Contoh 1

Tentukan banyak anggota himpunan penyelesaian SPLK di bawah ini.

a. y = x + 7
y = x² + 4x - 12

Jawab :

Substitusikan persamaan y = x + 7 ke persamaan y = x² + 4x - 12 diperoleh
x + 7 = x² + 4x - 12
x² + 3x - 19 = 0
D = 3² - 4(1)(-19)
D = 9 + 76
D = 85

Karena D > 0, jadi SPLK mempunyai 2 anggota himpunan penyelesaian.

b. y = -2x + 5
y = x² + 6x + 21
Jawab :

Substitusikan persamaan y = -2x + 5 ke persamaan y = x² + 6x + 21 diperoleh
-2x + 5 = x² + 6x + 21
x² + 8x + 16 = 0
D = 8² - 4(1)( 16)

D = 64 - 64
D = 0
Karena D = 0, jadi SPLK mempunyai 1 anggota himpunan penyelesaian.

c. y = 3x - 4
y = x² + 6x + 9
Jawab :

Substitusikan persamaan y = 3x - 4 ke persamaan y = x² + 6x + 9 diperoleh
3x - 4 = x² + 6x + 9
x² + 3x + 13 = 0
D = 3² - 4(1)( 13)
D = 9 - 52
D = -43
Karena D < 0, jadi SPLK tidak mempunyai anggota himpunan penyelesaian.

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian SPLK y = 2x + 8
y = x² + 4x
Jawab:
Substitusikan persamaan y = 2x + 8 ke persamaan y = x² + 4x, diperoleh
2x + 8 = x² + 4x
x² + 2x - 8 = 0
(x + 4)(x - 2) = 0
x = -4 atau x = 2
x = -4 y = 2(-4) + 8 = 0
x = 2 y = 2(2) + 8 = 12
Himpunan penyelesaian ={(-4, 0), (2, 12)}

Contoh 3

Diketahui persamaan garis y = x + 2 dan persamaan parabola y = x² - 2x - 8.
Tentukan: a. koordinat titik potong antara garis dan parabola
b. sketsa grafiknya.
Jawab:
a. Substitusikan persamaan garis y = x + 2 ke persamaan parabola y = x² - 2x - 8, diperoleh
x + 2 = x² - 2x - 8
x² - 3x - 10 = 0
(x + 2)(x - 5) = 0
x = -2 atau x = 5
x = -2 y = -2 + 2 = 0
x = 5 y = 5 + 2 = 7
Koordinat titik potong antara garis dan parabola adalah (-2, 0) dan (5, 7)

b. Grafik

y = x + 2

x 0 -2

y 2 0

y = x² - 2x - 8

x 0 -2 atau 4 1

y -8 0 -9

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Implisit

Suatu persamaan dua variable x dan y dikatakan berbentuk eksplisit apabila persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y).
Contoh: (1) x = 5y + 20 (3) y = x² +2x - 15
(2) y = 4x - 8 (4) x = y² + 8y +12

Suatu persamaan dua variable x dan y dikatakan berbentuk implisit apabila persamaan tersebut tidak dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y). Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk f(x, y)
Contoh: (1) x² + y² + 25 = 0 (3) x² - 6xy + y² + 8y = 0
(2) x² + y² - 4x + 6y = 0 (4) x² + 2xy + y² - 10y + 9 = 0

Bentuk umum SPLK implisit ditulis sebagai berikut:

Dengan a, b, c, d, e, f, p, q, r merupakan bilangan-bilangan real

A. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Implisit yang Tidak Dapat Difaktorkan

Penyelesaian SPLK implisit yang tidak difaktorkan adalah sebagai berikut.

1. Pada persamaan linear px + qy + r = 0, nyatakan x dalam y atau y dalam x.

2. Substitusikan x atau y dari persamaan linear ke persamaan kuadrat, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x atau y.

3. Selesaikan persamaan kuadrat dari langkah (2) sehingga diperoleh nilai x atau y, kemudian substitusikan nilai x atau y ke persamaan linear.

Contoh 1

Tentukan himpunan penyelesaian SPLK

Jawab:
x + y - 4 = 0 y = -x + 4

Substitusikan y ke persamaan x² + y² - 10 = 0
x² + (-x + 4)² - 10 = 0

x² + x² - 8x + 16 - 10 = 0

2x² - 8x + 6 = 0

x² - 4x + 3 = 0

(x - 1) (x - 3) = 0

x = 1 atau x = 3

x = 1 y = -1 + 4 = 3

x = 3 y = -3 + 4 = 1

Jadi, himpunan penyelesaian = {(1, 3) atau (3, 1)}

Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian SPLK

Jawab:
x - y = 5 x = y + 5

Substitusikan x ke persamaan x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0
(y + 5)² + y² - 2(y + 5) + 4y + 1 = 0

y² + 10y + 25 + y² - 2y - 10 + 4y + 1 = 0

2y² + 12y + 16 = 0

y² + 6y + 8 = 0

(y + 2) (y + 4) = 0

y = -2 atau y = -4

y = -2 x = -2 + 5 = 3

y = -4 x = -4 + 5 = 1

Jadi, himpunan penyelesaian = {(1, -4), (3, -2)}.

. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Implisit yang Dapat Difaktorkan

Penyelesaian SPLK implisit yang dapat difaktorkan adalah sebagai berikut.

1. Ubah persamaan ax² + by² + cxy + dx + ey + f = 0 menjadi bentuk (mx + ny)² - s² = 0 selanjutnya diubah menjadi {(mx + ny) + s}{(mx + ny) -s} = 0, sehingga diperoleh
mx + ny + s = 0 atau mx + ny -s = 0

2. Eliminasikan persamaan px + qy + r = 0 dengan mx + ny + s = 0 dan mx + ny -s = 0 sehingga diperolah nilai x dan y.

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian SPLK

Jawab:
x² - 6xy + 9y² - 36 = 0

(x - 3y)² - 36 = 0

(x - 3y + 6)(x - 3y - 6) = 0

x - 3y + 6 = 0 atau x - 3y - 6 = 0

x - 3y = -6 atau x - 3y = 6

Eliminasikan x + y = 2 dengan x - 3y = -6 dan x - 3y = 6

x + y = 2

x - 3y = -6

4y = 8 x + 2 = 8

y = 2 x = 0

x + y = 2

x - 3y = -6

4y = 8 x + 2 = 8

y = 2 x = 0

Jadi, himpunan penyelesaian = {(0, 2), (3, -1)}

Simulasi

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Eksplisit

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Implisit

Latihan

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Eksplisit

1. Tentukan banyak anggota himpunan penylesaian SPLK di bawah ini.

Klik apabila SPLK mempunyai 2 anggota himpunan penyelesaian.

Klik apabila SPLK mempunyai 1 anggota himpunan penyelesaian.

Klik apabila SPLK tidak mempunyai anggota himpunan penyelesaian.

2. Diketahui SPLK y = 2x + 4

y = x² - x - 6

Tentukan himpunan penyelesaian SPLK tersebut.

Jawab:

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Implisit

1. Diketahui SPLK x + y = 2

x² + y² - 20 = 0

Tentukan: a. hasil substitusi persamaan x + y = 2 ke persamaan x² + y² - 20 = 0

b. himpunan penyelesaian

Jawab:

2. Diketahui SPLK x - 3y = 2

x² - 4xy + 4y² - 9 = 0

Tentukan himpunan penyelesaian SPLK tersebut.

Jawab: