Permutasi dan Kombinasi

KOMPETENSI STANDAR :

Menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah

INDIKATOR:

Dapat menggitung nilai :

  1. faktorial bilangan asli
  2. permutasi dari unsur-unsur yang berbeda
  3. permutasi dari unsur-unsur yang sama
  4. permutasi siklis
  5. kombinasi

Materi

Faktorial

Faktorial Bilangan Asli

Definisi : Hasil perkalian semua bilangan bulat positif secara berurutan dari 1 sampai dengan n disebut n faktorial. Dari definisi faktorial tersebut, maka dapat dituliskan prinsip menghitung faktorial sebagai berikut :

n ! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x … 3 x 2 x 1
n ! dibaca n faktorial

Telah diambil kesepakatan bahwa : 0 ! = 1

Contoh :

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Permutasi

Unsur-unsur yang berbeda

Definisi: Permutasi adalah suatu susunan unsur-unsur berbeda dalam urutan tertentu tanpa ada unsur yang boleh diulang

Seorang Bapak yang sedang menunggui istrinya dalam proses persalinan, telah menyiapkan nama ANI untuk calon bayi yang akan segera lahir. Beberapa saat kemudian, bidan memberi tahu bahwa istrinya akan melahirkan bayi kembar. Si Bapak berfikir, berapa bayi kembar yang dapat dinamai dengan menggunakan huruf-huruf pada kata ANI?

Si Bapak merancang dengan menggambarkan diagram pohon berikut :


Dari cerita tadi, si Bapak mengambil untuk huruf pertama dari tiga huruf yang tersedia. Selanjutnya mengambil satu huruf untuk huruf kedua dari dua huruf yang tersisa. Terakhir, mengambil satu huruf sisa untuk huruf ketiga

Berdasarkan kaidah dasar membilang, maka banyaknya susunan 3 unsur (huruf) berbeda dalam urutan tertentu tanpa ada unsur (huruf) yang boleh diulang adalah = 3 x 2 x 1 = 6 susunan.

Secara umum, penyusunan n unsur berbeda dalam suatu urutan tertentu tanpa ada unsur yang diulang disebut permutasi dari n unsur. Susunan urutan dapat dibentuk dari n unsur sebanyak :

n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x . x 3 x 2 x 1 = n!

Banyaknya permutasi dari n unsur, diberi notasi P(n, n) diberikan oleh


P(n, n) = nx(n–1)x(n–2)x … 3 x 2 x 1

Berapa banyaknya nama yang dapat dibentuk dari huruf-huruf yang terdapat pada kata MIRA ? Banyaknya unsur yang tersedia sebanyak 5 dan susunan yang akan dibentuk terdiri atas 3 unsur, maka :

  • Huruf pertama dapat diisi dari 5 huruf pilihan yang mungkin
  • Huruf kedua dapat diisi dari 4 huruf pilihan sisa setelah terpakai pada huruf pertama
  • Huruf ketiga dapat diisi dari 3 huruf pilihan sisa setelah terpakai pada huruf pertama dan kedua

Berdasarkan kaidah dasar membilang, maka banyaknya susunan 3 unsur berbeda dalam urutan tertentu tanpa ada unsur yang boleh diulang adalah = 5 x (5-1) x (5-2) = 5 x 4 x 3 = 60 susunan. Secara umum, banyaknya permutasi r unsur dari n unsur dengan 0 < r < n adalah :

Buktikan bahwa P(n , n) = n!

Contoh : Hitunglah permutasi-permutasi berikut

Lima putra dan tiga putri duduk berderet pada 8 kursi kosong sesuai dengan 8 lembar karcis bioskop yang mereka miliki. Berapa banyak cara untuk duduk yang diperoleh dengan urutan berbeda jika :

  1. Putra dan putri dapat duduk di sembarang kursi?

  2. Putra dan putri masing-masing mengelompok sehingga hanya sepasang putra dan putri yang dapat duduk berdampingan?

Jawaban :

  1. Terdapat 8 orang yang menempati 8 kursi dimana perbedaan urutan duduk memberikan hasil yang berbeda. Ini adalah masalah permutasi 8 unsur dari 8 unsur atau P(8, 8) diberikan oleh : P(8, 8) = 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 3 x 2 x 1 = 40.320
  2. 5 orang putra duduk pada 5 kursi tertentu dan pertukaran duduk hanya boleh pada ke 5 kursi tersebut, sehingga banyaknya cara duduk putra adalah P(5, 5). Demikian juga 3 putri duduk pada tiga kursi tertentu dan pertukaran duduk diatara mereka hanya boleh pada ke 3 kursi ini, sehingga banyaknya cara untuk duduk putri adalah P(3, 3). Dengan demikian, banyak cara duduk 5 putra dan 3 putri yang masing-masing mengelompok adalah P(5, 5) x P(3, 3) = 5! X 3! = 720

Unsur-unsur yang sama

Dari huruf-huruf pada kata MATEMATIKA, berapa banyaknya pasangan huruf yang dapat dibentuk?

Jika mengingat kembali tentang permutasi, seharusnya banyaknya pasangan yang dapat dibentuk adalah sebanyak 10! pasangan.

Namun, apakah M1A1TEM2A2TIKA3 sama dengan M1A3TEM2A2TIKA1?

Ambil P sebagai jumlah permutasi berbeda untuk kesepuluh huruf. Jumlah permutasi dari kedua huruf M adalah 2! dan jumlah permutasi dari ketiga huruf A adalah 3! Sehingga jumlah total permutasi adalah 2! x 3! x P.

Dengan demikian, diperoleh : 2!3!P = 10! Sehingga :

Contoh tersebut mengantarkan kita kepada definisi permutasi yang mengandung unsur yang sama: Misalnya suatu himpunan yang terdiri atas n elemen memiliki r1 elemen jenis pertama yang sama, r2 elemen jenis kedua yang sama, ., dan rk elemen jenis ke k yang sama, dengan :

r1 + r2 + . rk < n

maka banyak permutasi berbeda dari n elemen diberikan oleh :

Contoh :

  1. Jika huruf-huruf pada kata "BOROBUDUR" dipertukarkan, berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat diperoleh?
  2. Berapa cara yang berbeda untuk menuliskan hasil kali a4b2c2 tanpa menggunakan eksponen?

Jawaban :

  1. Pada kata BOROBUDUR terdapat 9 huruf dengan huruf B diulang 2 kali, huruf O diulang 2 kali, huruf R diulang 2 kali, dan huruf U diulang 2 kali. Banyaknya susunan huruf berbeda yang diperoleh diberikan oleh rumus berikut:
  2. a4b2c2 dapat dituliskan sebagai perkalian berikut : Perkalian tersebut mempunyai jumlah 8 huruf. Huruf a diulang 4 kali, huruf b diulang 2 kali, dan huruf c diulang 2 kali sehingga banyaknya cara untuk menuliskan tanpa menggunakan eksponen diberikan oleh :

Siklis

Tiga orang siswa akan berdiskusi dengan cara duduk mengelilingi meja bundar. Berapa cara mereka duduk berdampingan mengelilingi meja bundar tersebut?


Empat orang siswa akan berdiskusi dengan cara duduk mengelilingi meja bundar. Berapa cara mereka duduk berdampingan mengelilingi meja bundar tersebut?


Kedua contoh tersebut membawa kita ke definisi permutasi siklik (melingkar), yaitu : Permutasi siklik dari n unsur adalah : (n - 1)!

Contoh :

Sebuah keluarga terdiri atas 5 orang. Mereka akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar untuk makan bersama. Berapa banyaknya cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan tersebut dengan urutan yang berbeda?

Jawaban :

Banyaknya cara agar 5 orang dapat duduk mengelilingi meja makan sama dengan banyak permutasi siklis 5 elemen, yaitu :

(5 -1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Kombinasi

Kombinasi adalah campuran atau gabungan atau susunan dari semua atau sebagian elemen dari suatu himpunan yang tidak mementingkan urutan elemen.

Contoh :

Seorang pemuda akan mempersembahkan serangkaian bunga dua warna dari lima warna bunga yang terdapat di tamannya. Berapa macam rangkaian bunga yang dapat dibuat pemuda tersebut?

Jawaban :


Apakah sama antara rangkaian bunga {Merah, Kuning} dengan rangkaian bunga {Kuning, Merah} ? Kasus tersebut dinamakan kombinasi dua unsur dari lima unsur yang tersedia dan dilambangkan dengan :

Permutasi 2 unsur dari 5 unsur ditulis yang merupakan dua kejadian berikut :

  1. Membuat rangkaian bunga yang memiliki 2 unsur dari 5 unsur yang tersedia dengan tidak
    memperhatikan urutan terdapat cara
  2. Menyusun elemen-elemen himpunan bagian dalam urutan yang berbeda yaitu {MK, KM}, {MB, BM}, {MH, HM}, {MP, PM}, {KB, BK}, {KH, HK}, {KP, PK}, {BH, HB}, {BP, PB}, dan {HP, PH} terdapat dua cara penyusunan atau 2! cara

Kejadian gabungan 1 diikuti oleh 2 adalah permutasi 2 unsur dari 5 unsur atau P(5, 2) =

Sehingga banyaknya kombinasi r elemen dari n elemen dengan 0 < r < n, diberi notasi adalah