Gerak Rotasi Benda Tegar

Kompetensi

Indikator

• Siswa dapat mendefinisikan gerak rotasi benda tegar
• Siswa dapat menghitung besaran-besaran yang ada pada gerak rotasi benda tegar
• Siswa dapat menghitung besarnya momen gaya pada suatu benda yang berotasi benda tegar
• Siswa dapat menghitung besarnya momen inersia suatu sistem partikel yang berotasi
• Siswa dapat menghitung besarnya momen inersia suatu benda tegar berotasi
• Siswa dapat menghitung besarnya energi kinetik rotasi benda tegar
• Siswa dapat menghitung besarnya momentum sudut suatu benda berotasi benda tegar
• Siswa dapat menghitung besaran-besaran yang ada pada benda yang bergerak menggelinding

Materi

Pendahuluan

Alat apa yang digunakan oleh tukang bangunan saat memindahkan pasir, bata atau material yang lain dari satu tempat ke tempat yang lain?

Alat apa yang digunakan oleh tukang tambal ban saat membuka ban sebuah mobil ?
Pernahkah kalian bermain dengan yoyo? Apa yang terjadi saat yoyo tersebut meluncur ke bawah ?
Bagaimana dengan katrol?
Kalian akan dapat menjawab pertanyaan tersebut setelah mempelajari beberapa materi berikut ini, yaitu:

• Gerak Rotasi Benda Tegar
• Momen Gaya
• Momen Inersia
• Energi Kinetik Rotasi Benda Tegar
• Hukum Kekekalan Momentum Sudut
• Gerak Menggelinding

Gerak Rotasi Benda Tegar

Gerak benda yang berputar terhadap suatu sumbu putar (poros) atau sumbu rotasi disebut gerak rotasi. Contoh gerak rotasi diantaranya: gerakan putaran bumi terhadap sumbunya, roda sepeda yang berputar, gerakan pintu yang berputar pada engselnya, dan masih banyak lagi. Perhatikan animasi berikut ini!

Gambar menunjukkan rotasi sebuah benda terhadap sumbu tetap

yang melalui O dan tegak lurus bidang gambar

Dengan menggunakan sistem koordinat polar, posisi benda dapat dinyatakan dalam r dan θ. Pada gambar dibuat hubungan bahwa:

komponen pada sumbu x ; x = r cos θ
komponen pada sumbu y ; y = r sin θ
besar posisi ;

arah posisinya ;

Keterangan:

r = jarak titik P terhadap titik pusat benda melingkar
x = proyeksi titik P terhadap sumbu x
y = proyeksi titik P terhadap sumbu y
θ = sudut r terhadap x

Hubungan besaran-besaran s , r dan θ secara geometri adalah:

Jika θ dinyatakan dalam radian maka:

Keterangan :
s = panjang busur lingkaran dalam meter
r = jari-jari titik tinjauan terhadap pusat lingkaran dalam meter
θ = sudut yang dibentuk dalam radian (derajat)

Persamaan Gerak Rotasi Benda Tegar

Kecepatan Sudut

Dinotasikan dengan , satuannya rad/s atau putaran/s.

Kecepatan sudut rata-rata partikel adalah perubahan posisi sudut dibagi selang waktu. Dengan persamaannya dirumuskan sebagai:

Keterangan:

∆θ = θ₂ – θ₁ =  perubahan posisi sudut dalam rad atau putaran
∆t = t₂ – t₁ = selang waktu dalam sekon

Kecepatan sudut sesaat

Dinotasikan dengan ω, satuannya rad/s atau putaran/s.

Untuk Δθ yang diambil kecil sekali (mendekati nol) maka kecepatan sudut rata-ratanya merupakan gradien garis singgung kurva posisi sudut terhadap waktu. Kecepatan sudut tersebut dinamakan kecepatan sudut sesaat. Secara matematis kecepatan sudut rata-rata dituliskan sebagai:

Keterangan:

 = turunan posisi sudut terhadap waktu

ω = kecepatan sudut (radian /sekon) atau dengan satuan lain yaitu rpm (rotation perminute)

Hubungan timbal balik posisi sudut dari kecepatan sudut

Posisi sudut didapat dari kecepatan sudutnya dengan cara mengintegralkan kecepatan sudut.

Apabila posisi sudut awal partikel (t=0) adalah θ₀, maka posisi sudut pada waktu t dapat dicari dengan persamaan sebagai berikut:

ω = 

Dengan menggunakan integral biasa dapat ditulis hubungan antara posisi sudut dari kecepatan sudut sebagai berikut:

Keterangan:
θ₀ = posisi sudut awal, satuannya radian
θ_t = posisi sudut setelah t sekon, satuannya radian
t = lamanya berputar, satuannya sekon
ω = kecepatan sudut, satuannya radian/sekon

Percepatan sudut rata-rata

Dinotasikan dengan  , satuannya rad/s² atau putaran/s².

Percepatan sudut rata-rata dapat didefinisikan sebagai perubahan kecepatan sudut dibagi selang waktunya.

Keterangan:

∆ω = ω₂ – ω₁ = perubahan kecepatan sudut dalam rad/s
∆t   = t₂ – t₁  = selang waktu dalam sekon

Percepatan sudut sesaat

Dinotasikan dengan, satuannya rad/s² atau putaran/s²

Untuk Δt yang kecil (mendekati nol) maka percepatan sudut rata-rata merupakan gradien garis singgung kurva kecepatan sudut terhadap waktu.
Besarnya percepatan sudut dirumuskan sebagai:

Keterangan;
 = percepatan sudut (rad/s²)

= Turunan kecepatan

Penentuan kecepatan sudut dari percepatan sudut

Kecepatan sudut dicari melalui percepatan sudut dengan cara mengintegralkan percepatan sudut yang telah diketahui. Secara matematis dapat diuraikan sebagai berikut:

= 

dω = dt

dω = dt

ω_t-ω₀ = dt

ω_t = ω₀ + dt

Bila konstan maka persamaannya menjadi:

Keterangan:

ω_t = kecepatan sudut akhir, satuannya rad/s
ω₀ = kecepatan sudut awal, satuannya rad/s
  = percepatan sudut, satuannya rad/s²
t   =  waktu yang ditempuh, satuannya sekon

Sedangkan posisi sudut untuk  konstan dicari dengan persamaan:

θ_t=θ₀ +ωt dt

θ_t=θ₀ +(ω₀+ t) dt

Keterangan:

θ₀ = posisi sudut awal, satuannya rad atau putaran
θ_t = posisi sudut akhir, satuannya rad atau putaran

Gerakan dengan   yang konstan dinamakan gerak berotasi berubah beraturan.

Analogi gerak rotasi dengan gerak translasi

Dari persamaan s = θ r, jika keduanya didifferensialkan terhadap waktu maka akan didapat:

Keterangan:

v = kecepatan linier, satuannya m/s
ω = kecepatan sudut, satuannya rad/s
r = jari-jari lingkaran, satuannya m

Vektor kecepatan linier selalu menyinggung lintasan lingkaran. Kecepatan linier disebut kecepatan tangensial dan percepatannnya disebut percepatan tangensial.

Sedangkan hubungan percepatan tangensial dengan percepatan sudut sebagai berikut:

v = ω r

 

Percepatan sentripetal (a_s) adalah percepatan yang arahnya selalu menuju ke pusat lingkaran. Persamaannya dinyatakan sebagai:

Percepatan linier total dari partikel yang bergerak melingkar adalah resultan dari kedua komponen percepatan.

Besar percepatan totalnya adalah:

Keterangan:

a = percepatan total, satuannya m/s²
a_t = percepatan tangensial, satuannya m/s²
a_s = percepatan sentripetal, satuannya m/s²

Secara garis besar hubungan antara besaran-besaran dalam gerak rotasi dan gerak translasi dibuat tabel berikut ini:

Hubungan antara Gerak Rotasi dan Translasi

Contoh Soal

Sepeda motor balap mula-mula diam. Setelah start, 10 sekon kemudian kecepatan rodanya menjadi 36 putaran persekon.
a. Hitungkah percepatan sudut roda sepeda motor

b. Hitunglah jumlah putaran roda selama 10 sekon

Penyelesaian:

Diketahui:
Δ t = 10 sekon
Δ ω = 36 putaran/sekon

Soal:

a.  = ... ?
b.  θ = .... ?

Jawab:
a.  = 

        = 
        = 3,6.2 
        = 7,2  rad/s²
        = 3,6 put/s²

b. θ_t = θ₀ + t²

        = 0 + . 7,2  10²
        = . 720 
        =  360  rad
        = 180 putaran

Momen Gaya

Dinotasikan dengan   (tau), satuannya N.m.
Benda dikenakan suatu gaya, salah satu akibatnya adalah terjadinya perubahan gerak pada benda tersebut, yaitu gerak rotasi atau gerak translasi. Hal ini dapat diartikan bahwa bila pada benda dikerjakan gaya, maka akan melakukan gerak rotasi saja atau melakukan rotasi dan translasi atau melakukan gerak translasi saja.

Perhatikan gambar berikut!

Sebuah titik O dipengaruhi sebuah gaya F seperti gambar, momen gaya yang timbul dapat dirumuskan sebagai:

Dengan  = momen gaya, satuannya N.m
F = gaya, satuannya N
r = jarak titik O terhadap garis kerja gaya, satuannya meter

Untuk momen gaya karena pengaruh beberapa gaya, maka momen gaya totalnya dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Momen gaya yang mengakibatkan putaran searah jarum jam diberi tanda (+) positif sedangkan momen gaya yang menyebabkan putaran berlawanan dengan jarum jam diberi tanda (-) negatif.

Bila gaya bukan tegak lurus dapat dilakukan dengan

a. mengeser gaya sepanjang garis kerja gaya sehingga tegak lurus dengan posisi sumbu rotasi

b. menguraikan gaya atas komponen-komponennya

Perhatikan animasi berikut ini !

Besarnya momen gaya yang dihasilkan dari gambar adalah

= F . r sin θ = 5 . 4 . sin 60 = 10 √3 N.m

Kopel

Momen kopel dinotasikan dengan M, satuannya N.m.
Kopel adalah pasangan dua buah gaya sama besar berlawanan arah dan sejajar.
Besarnya kopel dinyatakan dengan momen kopel (M). Momen Kopel adalah hasil kali salah satu gaya dengan jarak antara kedua gaya. Momen kopel merupakan besaran vektor dengan satuan N.m. Pengaruh kopel terhadap suatu benda dapat menyebabkan benda berotasi.

Momen Kopel positif : searah dengan putaran jarum jam

Momen Kopel negatif : berlawanan arah dengan putaran jarum jam

Keterangan:

M = Momen kopel, satuannya N.m
F = Gaya, satuannya newton (N)
d = jarak antara kedua gaya, satuannya meter (m)

Contoh penerapan penggunaan kopel dalam kehidupan sehari-hari adalah pada prinsip kerja generator.

Contoh Soal :

Sebuah batang homogen dipengaruhi beberapa gaya seperti gambar berikut ini :

Hitung besarnya momen gaya total yang dialami oleh titik B akibat dari pengaruh kedua gaya F₁ dan F₂!

Jawab :
τ₁ = F₁ . 2 = 20 . 2 = 40 N.m
τ ₂ = F₂ . 3 = 10 . 3 = 30 N.m

Momen Gaya totalnya adalah

τ _B = τ ₂ – τ ₁ 

      = 30 - 40
      = - 10 N.m

Momen Inersia

Momen Inersia Titik Partikel

Dinotasikan dengan I, satuannya kg.m²
Momen inersia suatu partikel adalah hasil kali massa partikel dengan kuadrat jarak terhadap sumbu putarnya dan dirumuskan dengan:

Jika titik masa partikel lebih dari satu maka momen inersianya dapat dihitung dengan rumus:

dimana:

I = momen inersia, satuannya kg.m²
m = massa partikel, satuannya kg
r = jarak partikel terhadap sumbu putar, satuannya m

Momen Inersia benda tegar

Perhatikan gambar berikut ini!

Sebuah elemen massa dm berjarak r terhadap sumbu rotasi. Apabila sebuah benda pejal terdiri dari distribusi materi yang kontinue, maka kita dapat menganggap benda terdiri dari sejumlah besar elemen massa dm yang tersebar merata. Momen Inersia benda adalah jumlah dari momen inersia semua elemen massa tersebut, r² dm. Untuk dm yang jumlahnya banyak, penjumlahan menjadi sebuah integral.

Dengan batas-batas integral yang dipilih sehingga mencakup seluruh benda.

Besar momen Inersia tergantung pada:

- Bentuk benda

- Massa benda

- Letak sumbu putarnya

Momen Inersia untuk berbagai bentuk benda:

a. Batang Homogen

- Diputar pada salah satu ujungnya:

- Diputar ditengah-tengahnya:

Dimana:
m = massa batang, satuannya kg
L = panjang batang, satuannya m

b. Cincin

- Berongga poros di pusat

- Pejal poros di pusat

- Pejal diputar pada salah satu sisi

Keterangan:

m = massa cincin, satuannya kg
R = jari-jari cincin, satuannya m

c. Silinder

- Silinder Berongga dengan poros melalui pusat

- Silinder Pejal dengan poros melalui pusat

- Silinder Berongga dengan 2 jari-jari dalam dan luar dengan poros melalui pusat

dengan:

m = massa silinder = kg
R₁ = Jari-jari dalam = m
R₂ = Jari-jari luar = m
R = Jari-jari silinder berongga atau pejal

d. Bola

- Bola Berongga dengan poros pusat bola

- Bola Pejal dengan poros pusat bola

Selanjutnya untuk mencari momen inersia dari benda-benda yang bentuknya seperti di atas tetapi dengan sumbu putar pada jarak L dan sejajar dengan sumbu mula-mula, melalui poros massa, dapat digunakan rumus sumbu sejajar:

dengan

I = Momen Inersia yang baru dalam kg. m²
I₀ = momen inersia dengan poros melalui pusat massa dalam kg.m²
M = massa benda dalam kg
L = jarak sumbu mula-mula melalui pusat massa dengan yang baru dalam m

Energi Kinetik Rotasi

Energi kinetik rotasi sebuah benda pejal dapat diturunkan dari energi kinetik translasi sebagai berikut:

dengan

m = massa benda dalam kg;
v = kecepatan linier benda dalam m/s²
E_k = energi kinetik benda dalam joule.

Mengingat v = ω R maka

Karena mR² adalah momen inersia maka rumus energi kinetik rotasi dapat dirumuskan sebagai:

dengan:

E_{k rot} = energi kinetik rotasi dalam joule
I = momen inersia benda dalam kg.m²
ω = kecepatan sudut dalam rad/s

Usaha dalam Gerak Rotasi

Perhatikan gambar berikut ini !

Sebuah gaya F bekerja pada jarak R dari sumbu putar benda.

Usaha yang dilakukan oleh sebuah momen gaya yang bekerja untuk merotasikan sebuah benda tegar sejauh dθ dapat diperoleh dari rumus gerak linier sebagai berikut:
W = F.s = F. Rθ; karena F.R adalah momen gaya maka:

dengan

W = usaha gerak rotasi dalam joule
 τ = momen gaya dalam kg.m
θ = sudut yang dibentuk dalam rad

Dalam gerak rotasi sebuah momen gaya melakukan kerja pada benda dan mengubah energi kinetik rotasinya sesuai dengan hubungan

Pada gerak rotasi juga berlaku hukum kekekalan energi mekanik jika resultan gaya luar sama dengan nol yaitu :

E_p + E_{k tran} + E_{k rot} = tetap
E_p1 + E_{k tran 1} + E_{k rot 1} = E_p2 + E_{k tran 2} + E_{k rot 2}
atau

dengan
∆E_p = perubahan energi potensial
∆E_{k tran} = perubahan energi kinetik translasi

∆E_{k rot} = perubahan energi kinetik rotasi

Hukum Kekekalan Momentum Sudut

Momentum Sudut

Dinotasikan dengan L, satuannya kg.m²/s

Pada gerak rotasi momen inersia I merupakan analogi dari massa m dan ω merupakan analogi dari kecepatan linier v, maka rumus momentum sudut untuk gerak rotasi dapat dituliskan:

       p = m.v  dan v = ω.r     maka dihasilkan    

Dengan L = momentum sudut dalam kg. m²/s ; I = momen inersia dalam kg.m² dan ω = kecepatan sudut dalam rad/s.

Momentum sudut merupakan besaran vektor, maka arah dari momentum sudut dari sebuah benda berotasi adalah seperti berikut:

Hubungan momentum sudut dengan momen gaya

Analogi dengan hubungan impuls dan momentum maka hubungan momentum sudut dengan momen gaya dapat diperoleh :

 τ dt = dL atau 

dengan  τ = momen gaya dan dL/dt adalah turunan dari momentum sudut terhadap waktu

Hukum Kekekalan Momentum Sudut

Bila tidak ada gaya dari luar yang bekerja pada benda (= 0) maka berlaku hukum kekekalan momentum sudut yaitu :

a. untuk satu benda

I₁ = momen inersia keadaan 1, ω₁ = kecepatan sudut keadaan 1, L₁ = momentum sudut keadaan 1
I₂ = momen inersia keadaan 2, ω₂ = kecepatan sudut keadaan 2, L₂ = momentum sudut keadaan 2

b. untuk dua benda

I₁. ω₁ + I₂. ω₂ = ( I₁ + I₂ )ω   Bila arah gerak searah
I₁. ω₁ - I₂. ω₂ = ( I₁ + I₂ )ω    Bila arah gerak berlawanan arah

I₁ = momen inersia benda 1 dalam kg.m² ; ω₁ = kecepatan sudut benda 1 dalam rad/s
I₂ = momen inersia benda 2 dalam kg.m² ; ω₂ = kecepatan sudut benda 2 dalam rad/s

ω = kecepatan sudut benda gabungan benda 1 dan benda 2 dalam rad/s

Gerak Menggelinding

Penerapan dari hukum kekekalan momentum sudut adalah :

- peloncat indah

- penari ballet

- kursi putar

Penari ballet berputar perlahan saat membentangkan tangannya. Ketika sang penari melipat tangannya di dada kecepatan putarannya bertambah, dan membentangkan kembali tangannya saat akan berhenti dari putaran. Pada kejadian ini berlaku hukum kekekalan momentum yaitu momentum sudut saat membentangkan sama dengan momentum sudut saat melipat tangannya.

Gerak menggelinding terjadi bila sebuah benda melakukan dua macam gerakan secara bersamaan yaitu gerak translasi dan gerak rotasi.

Contoh gerak menggelinding.
Pada sebuah roda bekerja gaya sebesar F, benda bergerak pada bidang kasar. Dalam hal ini ada dua jenis gerakan, yaitu : gerak translasi dan gerak rotasi.

- Gerak rotasi berlaku:

 = I    f_ges . R = I 

Keterangan:
a = percepatan dalam m/s²
f_ges = gaya gesekan dalam Newton (N)
R = jari-jari roda dalam m
I = momen kelembaman dalam kg.m²

- Gerak translasi berlaku:

ΣF = m.a

F – f_ges = m.a

Keterangan:

F = Gaya luar dalam newton (N)
m = massa benda dalam kg

Contoh kasus berikut ini.

Sebuah roda ditarik oleh sebuah gaya sebesar 60 N pada tepi roda (gambar). Roda bergerak mengelinding pada lantai kasar dengan koeffisien gesekan kinetis 0,4. Jika massa roda 5 kg dan jari-jari roda 1 m tentukan besarnya percepatan roda !

Penyelesaian :
Diket : F = 60 N
R = 1 m
m = 5 kg
µ = 0,4
Ditanya : a = …… ?

Jawab :

= .5.1² = 2,5 kg.m²

    = I   ( F + f_ges ). R = I 

   

Pada gerak menggelinding berlaku hukum kekekalan energi mekanik

Simulasi